12 個から 10 個を並べる方法 — 12P10
順列
12P10 = 239,500,800 通り
12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 239,500,800
計算式
1 番目に選べる候補は 12 通り。2 番目は使ったものを除いて 11 通り。… これを 10 回繰り返した積が答えになります。
12P10 = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 239,500,800
階乗を使った形でも書けます。
12P10 = 12! / (12 - 10)! = 479,001,600 / 2 = 239,500,800
樹形図で確かめる
葉の総数が 239,500,800 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 239,500,800 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(12, 10) = 239,500,800 の中には、同じ「選んだ 10 個」に対する並べ替え 10! = 3,628,800 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、239,500,800 ÷ 10! = 66（= C(12, 10)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。