12 個から 8 個を並べる方法 — 12P8
順列
12P8 = 19,958,400 通り
12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 19,958,400
計算式
1 番目に選べる候補は 12 通り。2 番目は使ったものを除いて 11 通り。… これを 8 回繰り返した積が答えになります。
12P8 = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 19,958,400
階乗を使った形でも書けます。
12P8 = 12! / (12 - 8)! = 479,001,600 / 24 = 19,958,400
樹形図で確かめる
葉の総数が 19,958,400 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 19,958,400 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(12, 8) = 19,958,400 の中には、同じ「選んだ 8 個」に対する並べ替え 8! = 40,320 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、19,958,400 ÷ 8! = 495（= C(12, 8)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。