15 個から 10 個を並べる方法 — 15P10
順列
15P10 = 10,897,286,400 通り
15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 10,897,286,400
計算式
1 番目に選べる候補は 15 通り。2 番目は使ったものを除いて 14 通り。… これを 10 回繰り返した積が答えになります。
15P10 = 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 10,897,286,400
階乗を使った形でも書けます。
15P10 = 15! / (15 - 10)! = 1,307,674,368,000 / 120 = 10,897,286,400
樹形図で確かめる
葉の総数が 10,897,286,400 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 10,897,286,400 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(15, 10) = 10,897,286,400 の中には、同じ「選んだ 10 個」に対する並べ替え 10! = 3,628,800 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、10,897,286,400 ÷ 10! = 3,003（= C(15, 10)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。