16 個から 15 個を並べる方法 — 16P15
順列
16P15 = 20,922,789,888,000 通り
16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 20,922,789,888,000
計算式
1 番目に選べる候補は 16 通り。2 番目は使ったものを除いて 15 通り。… これを 15 回繰り返した積が答えになります。
16P15 = 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 20,922,789,888,000
階乗を使った形でも書けます。
16P15 = 16! / (16 - 15)! = 20,922,789,888,000 / 1 = 20,922,789,888,000
樹形図で確かめる
葉の総数が 20,922,789,888,000 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 20,922,789,888,000 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(16, 15) = 20,922,789,888,000 の中には、同じ「選んだ 15 個」に対する並べ替え 15! = 1,307,674,368,000 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、20,922,789,888,000 ÷ 15! = 16（= C(16, 15)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。