16 個から 9 個を並べる方法 — 16P9
順列
16P9 = 4,151,347,200 通り
16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 4,151,347,200
計算式
1 番目に選べる候補は 16 通り。2 番目は使ったものを除いて 15 通り。… これを 9 回繰り返した積が答えになります。
16P9 = 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 4,151,347,200
階乗を使った形でも書けます。
16P9 = 16! / (16 - 9)! = 20,922,789,888,000 / 5,040 = 4,151,347,200
樹形図で確かめる
葉の総数が 4,151,347,200 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 4,151,347,200 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(16, 9) = 4,151,347,200 の中には、同じ「選んだ 9 個」に対する並べ替え 9! = 362,880 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、4,151,347,200 ÷ 9! = 11,440（= C(16, 9)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。