18 個から 16 個を並べる方法 — 18P16
順列
18P16 = 3,201,186,852,864,000 通り
18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 3,201,186,852,864,000
計算式
1 番目に選べる候補は 18 通り。2 番目は使ったものを除いて 17 通り。… これを 16 回繰り返した積が答えになります。
18P16 = 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 3,201,186,852,864,000
階乗を使った形でも書けます。
18P16 = 18! / (18 - 16)! = 6,402,373,705,728,000 / 2 = 3,201,186,852,864,000
樹形図で確かめる
葉の総数が 3,201,186,852,864,000 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 3,201,186,852,864,000 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(18, 16) = 3,201,186,852,864,000 の中には、同じ「選んだ 16 個」に対する並べ替え 16! = 20,922,789,888,000 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、3,201,186,852,864,000 ÷ 16! = 153（= C(18, 16)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。