組合せ
n 個の中から r 個を選ぶ場合の数を組合せといい、C(n, r)（または nCr）と書きます。順列 P(n, r) と違って「並び順」は区別しません。式は C(n, r) = n! / (r!(n−r)!)。1 ≤ n ≤ 18、0 ≤ r ≤ n の範囲で、各組合せの値・計算式・対称性・パスカルの三角形での位置を一覧できます。
計算機
n と r にそれぞれ整数を入力してください（1 ≤ n ≤ 18、0 ≤ r ≤ n）。組合せ C(n, r) の値、計算式の展開、対称ペア、対応する順列 P(n, r) を表示します。
パスカルの三角形
C(n, r) はパスカルの三角形の n 行目 r 列目（左端を 0 列目と数える）にあたります。各セルは「真上の 2 つのセルの和」になっており、これが C(n, r) = C(n−1, r−1) + C(n−1, r) という関係（パスカルの和）です。
行の両端は常に 1（C(n, 0) = C(n, n) = 1）。各行の合計は 2n（行 n のすべての組合せの個数の和）になります。
順列 vs 組合せ
同じ「n 個から r 個を取る」操作でも、並び順を区別するなら順列 P(n, r)、区別しないなら組合せ C(n, r)。違いは「並べ方の数」r! 倍だけ。
- P(n, r) = n × (n−1) × ... × (n−r+1)（順番付きで取り出す）
- C(n, r) = P(n, r) / r!（並べ替えで割って、純粋に「どの r 個を選んだか」だけにする）
- 例：P(5, 2) = 20、C(5, 2) = 10。並び方 2! = 2 倍だけ順列のほうが多い
順列カテゴリトップ で、同じ n, r での順列の値・計算式・並び方の例を見られます。
対称性 C(n, r) = C(n, n−r)
「選ぶ r 個」と「選ばない n−r 個」を入れ替えると、選び方が 1 対 1 に対応します。だから組合せの値は等しい——C(n, r) = C(n, n−r) です。たとえば C(10, 3) と C(10, 7) は同じ 120。
r = n/2（中央二項係数）のとき、選ぶ側と選ばない側のサイズが釣り合って、同じ n の中で C(n, r) が最大になります。
人気の C(n, r)
よく調べられる組合せです。境界（r=0、r=n）と中央二項係数を含めています。
対応範囲
n は 1 〜 18、r は 0 〜 n までの整数に対応しています。n = 18 のとき C(18, 9) = 48620 が最大値です。範囲外の入力はカテゴリトップに戻るようになっています。