18C9（18 個から 9 個を選ぶ組合せ）
中央二項係数
C(18, 9) = 48,620 通り
中央二項係数（n/2）
r = n/2 = 9：中央二項係数。同じ n では r がちょうど n/2 のとき C(n, r) が最大になります。
計算式
18 個から 9 個を選ぶ場合の数は、18! を r! と (n−r)! で割ることで求まります。
C(18, 9) = 18! / (9! · 9!)
= 6,402,373,705,728,000 / (362,880 · 362,880)
= (18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10) / (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 48,620
分子の 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 は 18 個の中から 9 個を「順番付きで」選ぶ場合の数（= P(18, 9)）。それを「並び順を区別しないために」9! で割ると、純粋に「どの 9 個を選んだか」だけを数えた値になります。
参考：順列 P(18, 9) = 17,643,225,600（並べ方を区別する）。組合せはそれを 9! = 362,880 で割ったもの。
対称性
18 は偶数で、r = n/2 = 9。このとき「選ぶ側」と「選ばない側」がちょうど同じ大きさになるので、C(18, 9) は対称性の中央——同じ n の中で最大の値になります。
パスカルの三角形での位置
パスカルの三角形では、各セルが「真上の 2 つのセルの和」になっています。18 行 9 列目の C(18, 9) は、その真上の C(17, 8) と C(17, 9) を足したもの。
C(18, 9) = C(17, 8) + C(17, 9) = 24310 + 24310 = 48,620
真上のセル：C(17, 8) = 24310、C(17, 9) = 24310（17 行目）
図で確かめる
18 個の中から 9 個を選ぶ代表的な 1 つを示しました。実際には全部で 48,620 通りの選び方があります。
ここが面白いと感じます
n = 18 は偶数で、r = n/2 = 9。同じ 18 個の中から「ちょうど半分」を選ぶ場合の数 C(18, 9) = 48,620 は、18 を分母にした全二項係数の中で最大になります。これは「選ぶ側と選ばない側のサイズが釣り合うところで、組み合わせの自由度が最大になる」という直感どおりの性質で、確率論や組合せ論の中央極限定理にも現れる、パスカルの三角形の中心線です。