16C8（16 個から 8 個を選ぶ組合せ）
中央二項係数
C(16, 8) = 12,870 通り
中央二項係数（n/2）
r = n/2 = 8：中央二項係数。同じ n では r がちょうど n/2 のとき C(n, r) が最大になります。
計算式
16 個から 8 個を選ぶ場合の数は、16! を r! と (n−r)! で割ることで求まります。
C(16, 8) = 16! / (8! · 8!)
= 20,922,789,888,000 / (40,320 · 40,320)
= (16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9) / (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 12,870
分子の 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 は 16 個の中から 8 個を「順番付きで」選ぶ場合の数（= P(16, 8)）。それを「並び順を区別しないために」8! で割ると、純粋に「どの 8 個を選んだか」だけを数えた値になります。
参考：順列 P(16, 8) = 518,918,400（並べ方を区別する）。組合せはそれを 8! = 40,320 で割ったもの。
対称性
16 は偶数で、r = n/2 = 8。このとき「選ぶ側」と「選ばない側」がちょうど同じ大きさになるので、C(16, 8) は対称性の中央——同じ n の中で最大の値になります。
パスカルの三角形での位置
パスカルの三角形では、各セルが「真上の 2 つのセルの和」になっています。16 行 8 列目の C(16, 8) は、その真上の C(15, 7) と C(15, 8) を足したもの。
C(16, 8) = C(15, 7) + C(15, 8) = 6435 + 6435 = 12,870
真上のセル：C(15, 7) = 6435、C(15, 8) = 6435（15 行目）
図で確かめる
16 個の中から 8 個を選ぶ代表的な 1 つを示しました。実際には全部で 12,870 通りの選び方があります。
ここが面白いと感じます
n = 16 は偶数で、r = n/2 = 8。同じ 16 個の中から「ちょうど半分」を選ぶ場合の数 C(16, 8) = 12,870 は、16 を分母にした全二項係数の中で最大になります。これは「選ぶ側と選ばない側のサイズが釣り合うところで、組み合わせの自由度が最大になる」という直感どおりの性質で、確率論や組合せ論の中央極限定理にも現れる、パスカルの三角形の中心線です。