31/17

なぜ 循環小数になるか

既約分数 31/17 の 分母 17 を素因数分解します。

分母 17 に 17 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。

覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。

筆算で小数に直す

既約分数の分子 31 を分母 17 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 16 桁）。

1. 1140 ÷ 17 → 商の桁 8、余り 4
2. 240 ÷ 17 → 商の桁 2、余り 6
3. 360 ÷ 17 → 商の桁 3、余り 9
4. 490 ÷ 17 → 商の桁 5、余り 5
5. 550 ÷ 17 → 商の桁 2、余り 16
6. 6160 ÷ 17 → 商の桁 9、余り 7
7. 770 ÷ 17 → 商の桁 4、余り 2
8. 820 ÷ 17 → 商の桁 1、余り 3
9. 930 ÷ 17 → 商の桁 1、余り 13
10. 10130 ÷ 17 → 商の桁 7、余り 11
11. 11110 ÷ 17 → 商の桁 6、余り 8
12. 1280 ÷ 17 → 商の桁 4、余り 12
13. 13120 ÷ 17 → 商の桁 7、余り 1
14. 1410 ÷ 17 → 商の桁 0、余り 10
15. 15100 ÷ 17 → 商の桁 5、余り 15
16. 16150 ÷ 17 → 商の桁 8、余り 14 ← ここで余りが既出。循環が確定します

図で確かめる

31/17 を帯分数にすると 1 と 14/17。完全充填のバーが 1 本と、17 等分のうち 14 個ぶんの部分バーで表せます。