39/38

なぜ 循環小数になるか

既約分数 39/38 の 分母 38 を素因数分解します。

分母 38 に 19 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。

覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。

筆算で小数に直す

既約分数の分子 39 を分母 38 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 18 桁）。

1. 110 ÷ 38 → 商の桁 0、余り 10
2. 2100 ÷ 38 → 商の桁 2、余り 24
3. 3240 ÷ 38 → 商の桁 6、余り 12
4. 4120 ÷ 38 → 商の桁 3、余り 6
5. 560 ÷ 38 → 商の桁 1、余り 22
6. 6220 ÷ 38 → 商の桁 5、余り 30
7. 7300 ÷ 38 → 商の桁 7、余り 34
8. 8340 ÷ 38 → 商の桁 8、余り 36
9. 9360 ÷ 38 → 商の桁 9、余り 18
10. 10180 ÷ 38 → 商の桁 4、余り 28
11. 11280 ÷ 38 → 商の桁 7、余り 14
12. 12140 ÷ 38 → 商の桁 3、余り 26
13. 13260 ÷ 38 → 商の桁 6、余り 32
14. 14320 ÷ 38 → 商の桁 8、余り 16
15. 15160 ÷ 38 → 商の桁 4、余り 8
16. 1680 ÷ 38 → 商の桁 2、余り 4
17. 1740 ÷ 38 → 商の桁 1、余り 2
18. 1820 ÷ 38 → 商の桁 0、余り 20
19. 19200 ÷ 38 → 商の桁 5、余り 10 ← ここで余りが既出。循環が確定します

図で確かめる

39/38 を帯分数にすると 1 と 1/38。完全充填のバーが 1 本と、38 等分のうち 1 個ぶんの部分バーで表せます。