42/41

なぜ 循環小数になるか

既約分数 42/41 の 分母 41 を素因数分解します。

分母 41 に 41 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。

覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。

筆算で小数に直す

既約分数の分子 42 を分母 41 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 5 桁）。

1. 110 ÷ 41 → 商の桁 0、余り 10
2. 2100 ÷ 41 → 商の桁 2、余り 18
3. 3180 ÷ 41 → 商の桁 4、余り 16
4. 4160 ÷ 41 → 商の桁 3、余り 37
5. 5370 ÷ 41 → 商の桁 9、余り 1 ← ここで余りが既出。循環が確定します

図で確かめる

42/41 を帯分数にすると 1 と 1/41。完全充填のバーが 1 本と、41 等分のうち 1 個ぶんの部分バーで表せます。