48/31

なぜ 循環小数になるか

既約分数 48/31 の 分母 31 を素因数分解します。

分母 31 に 31 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。

覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。

筆算で小数に直す

既約分数の分子 48 を分母 31 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 15 桁）。

1. 1170 ÷ 31 → 商の桁 5、余り 15
2. 2150 ÷ 31 → 商の桁 4、余り 26
3. 3260 ÷ 31 → 商の桁 8、余り 12
4. 4120 ÷ 31 → 商の桁 3、余り 27
5. 5270 ÷ 31 → 商の桁 8、余り 22
6. 6220 ÷ 31 → 商の桁 7、余り 3
7. 730 ÷ 31 → 商の桁 0、余り 30
8. 8300 ÷ 31 → 商の桁 9、余り 21
9. 9210 ÷ 31 → 商の桁 6、余り 24
10. 10240 ÷ 31 → 商の桁 7、余り 23
11. 11230 ÷ 31 → 商の桁 7、余り 13
12. 12130 ÷ 31 → 商の桁 4、余り 6
13. 1360 ÷ 31 → 商の桁 1、余り 29
14. 14290 ÷ 31 → 商の桁 9、余り 11
15. 15110 ÷ 31 → 商の桁 3、余り 17 ← ここで余りが既出。循環が確定します

図で確かめる

48/31 を帯分数にすると 1 と 17/31。完全充填のバーが 1 本と、31 等分のうち 17 個ぶんの部分バーで表せます。