13 個から 12 個を並べる方法 — 13P12
順列
13P12 = 6,227,020,800 通り
13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 6,227,020,800
計算式
1 番目に選べる候補は 13 通り。2 番目は使ったものを除いて 12 通り。… これを 12 回繰り返した積が答えになります。
13P12 = 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 6,227,020,800
階乗を使った形でも書けます。
13P12 = 13! / (13 - 12)! = 6,227,020,800 / 1 = 6,227,020,800
樹形図で確かめる
葉の総数が 6,227,020,800 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 6,227,020,800 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(13, 12) = 6,227,020,800 の中には、同じ「選んだ 12 個」に対する並べ替え 12! = 479,001,600 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、6,227,020,800 ÷ 12! = 13（= C(13, 12)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。