13 個から 8 個を並べる方法 — 13P8
順列
13P8 = 51,891,840 通り
13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 51,891,840
計算式
1 番目に選べる候補は 13 通り。2 番目は使ったものを除いて 12 通り。… これを 8 回繰り返した積が答えになります。
13P8 = 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 51,891,840
階乗を使った形でも書けます。
13P8 = 13! / (13 - 8)! = 6,227,020,800 / 120 = 51,891,840
樹形図で確かめる
葉の総数が 51,891,840 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 51,891,840 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(13, 8) = 51,891,840 の中には、同じ「選んだ 8 個」に対する並べ替え 8! = 40,320 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、51,891,840 ÷ 8! = 1,287（= C(13, 8)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。