15 個から 12 個を並べる方法 — 15P12
順列
15P12 = 217,945,728,000 通り
15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 217,945,728,000
計算式
1 番目に選べる候補は 15 通り。2 番目は使ったものを除いて 14 通り。… これを 12 回繰り返した積が答えになります。
15P12 = 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 217,945,728,000
階乗を使った形でも書けます。
15P12 = 15! / (15 - 12)! = 1,307,674,368,000 / 6 = 217,945,728,000
樹形図で確かめる
葉の総数が 217,945,728,000 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 217,945,728,000 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(15, 12) = 217,945,728,000 の中には、同じ「選んだ 12 個」に対する並べ替え 12! = 479,001,600 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、217,945,728,000 ÷ 12! = 455（= C(15, 12)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。