15 個から 13 個を並べる方法 — 15P13
順列
15P13 = 653,837,184,000 通り
15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 653,837,184,000
計算式
1 番目に選べる候補は 15 通り。2 番目は使ったものを除いて 14 通り。… これを 13 回繰り返した積が答えになります。
15P13 = 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 653,837,184,000
階乗を使った形でも書けます。
15P13 = 15! / (15 - 13)! = 1,307,674,368,000 / 2 = 653,837,184,000
樹形図で確かめる
葉の総数が 653,837,184,000 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 653,837,184,000 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(15, 13) = 653,837,184,000 の中には、同じ「選んだ 13 個」に対する並べ替え 13! = 6,227,020,800 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、653,837,184,000 ÷ 13! = 105（= C(15, 13)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。