15 個から 5 個を並べる方法 — 15P5
順列
15P5 = 360,360 通り
15 × 14 × 13 × 12 × 11 = 360,360
計算式
1 番目に選べる候補は 15 通り。2 番目は使ったものを除いて 14 通り。… これを 5 回繰り返した積が答えになります。
15P5 = 15 × 14 × 13 × 12 × 11 = 360,360
階乗を使った形でも書けます。
15P5 = 15! / (15 - 5)! = 1,307,674,368,000 / 3,628,800 = 360,360
樹形図で確かめる
葉の総数が 360,360 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 15 × 14 × 13 × 12 × 11 = 360,360 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(15, 5) = 360,360 の中には、同じ「選んだ 5 個」に対する並べ替え 5! = 120 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、360,360 ÷ 5! = 3,003（= C(15, 5)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。