17 個から 3 個を並べる方法 — 17P3
順列
17P3 = 4,080 通り
17 × 16 × 15 = 4,080
計算式
1 番目に選べる候補は 17 通り。2 番目は使ったものを除いて 16 通り。… これを 3 回繰り返した積が答えになります。
17P3 = 17 × 16 × 15 = 4,080
階乗を使った形でも書けます。
17P3 = 17! / (17 - 3)! = 355,687,428,096,000 / 87,178,291,200 = 4,080
樹形図で確かめる
葉の総数が 4,080 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 17 × 16 × 15 = 4,080 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(17, 3) = 4,080 の中には、同じ「選んだ 3 個」に対する並べ替え 3! = 6 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、4,080 ÷ 3! = 680（= C(17, 3)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。