13C10（13 個から 10 個を選ぶ組合せ）

計算式

13 個から 10 個を選ぶ場合の数は、13! を r! と (n−r)! で割ることで求まります。

分子の 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 は 13 個の中から 10 個を「順番付きで」選ぶ場合の数（= P(13, 10)）。それを「並び順を区別しないために」10! で割ると、純粋に「どの 10 個を選んだか」だけを数えた値になります。

参考：順列 P(13, 10) = 1,037,836,800（並べ方を区別する）。組合せはそれを 10! = 3,628,800 で割ったもの。

対称性：選ぶ側と選ばない側

「13 個から 10 個を選ぶ」と「13 個から 3 個を選ぶ」は、選んだ側と選ばなかった側を入れ替えれば 1 対 1 に対応します。だから場合の数は等しくなります。

たとえば「選ぶ 10 個」を決めれば、自動的に「選ばない 3 個」も決まる——どちらの視点で数えても答えは同じになります。

対称ペア：C(13, 3) のページへ。

パスカルの三角形での位置

パスカルの三角形では、各セルが「真上の 2 つのセルの和」になっています。13 行 10 列目の C(13, 10) は、その真上の C(12, 9) と C(12, 10) を足したもの。

真上のセル：C(12, 9) = 220、C(12, 10) = 66（12 行目）

図で確かめる

13 個の中から 10 個を選ぶ代表的な 1 つを示しました。実際には全部で 286 通りの選び方があります。