13 個から 10 個を並べる方法 — 13P10
順列
13P10 = 1,037,836,800 通り
13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 1,037,836,800
計算式
1 番目に選べる候補は 13 通り。2 番目は使ったものを除いて 12 通り。… これを 10 回繰り返した積が答えになります。
13P10 = 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 1,037,836,800
階乗を使った形でも書けます。
13P10 = 13! / (13 - 10)! = 6,227,020,800 / 6 = 1,037,836,800
樹形図で確かめる
葉の総数が 1,037,836,800 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 1,037,836,800 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(13, 10) = 1,037,836,800 の中には、同じ「選んだ 10 個」に対する並べ替え 10! = 3,628,800 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、1,037,836,800 ÷ 10! = 286（= C(13, 10)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。