3/22
循環小数
3/22 = 0.1
真分数 既約分数
なぜ 循環小数になるか
既約分数 3/22 の 分母 22 を素因数分解します。
22 = 2 × 11
分母 22 に 11 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。
覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。
筆算で小数に直す
既約分数の分子 3 を分母 22 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 2 桁）。
- 130 ÷ 22 → 商の桁 1、余り 8
- 280 ÷ 22 → 商の桁 3、余り 14
- 3140 ÷ 22 → 商の桁 6、余り 8 ← ここで余りが既出。循環が確定します
図で確かめる
3/22 は、1 本のバーを 22 等分して 3 個ぶんを塗った大きさです。
同じ値の他の分数
3/22 は既約分数ですが、分子・分母を同じ数で掛けると同じ値の別の分数になります。このサイト内の範囲で見つかったものを並べます。
ここが面白いと感じます
循環節の長さは 2 桁。これは「10 を何回掛けると 22 で割った余りが元に戻るか」という問いで決まります。分母の素因数 11 が 10 と「どれくらい非なじみか」が、循環節の長さという形で見えるわけです。分母のわずかな違いで循環節が何桁にも伸びる——分数の中に潜む、数の個性の一端を感じる部分だと思います。