30/31

なぜ 循環小数になるか

既約分数 30/31 の 分母 31 を素因数分解します。

分母 31 に 31 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。

覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。

筆算で小数に直す

既約分数の分子 30 を分母 31 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 15 桁）。

1. 1300 ÷ 31 → 商の桁 9、余り 21
2. 2210 ÷ 31 → 商の桁 6、余り 24
3. 3240 ÷ 31 → 商の桁 7、余り 23
4. 4230 ÷ 31 → 商の桁 7、余り 13
5. 5130 ÷ 31 → 商の桁 4、余り 6
6. 660 ÷ 31 → 商の桁 1、余り 29
7. 7290 ÷ 31 → 商の桁 9、余り 11
8. 8110 ÷ 31 → 商の桁 3、余り 17
9. 9170 ÷ 31 → 商の桁 5、余り 15
10. 10150 ÷ 31 → 商の桁 4、余り 26
11. 11260 ÷ 31 → 商の桁 8、余り 12
12. 12120 ÷ 31 → 商の桁 3、余り 27
13. 13270 ÷ 31 → 商の桁 8、余り 22
14. 14220 ÷ 31 → 商の桁 7、余り 3
15. 1530 ÷ 31 → 商の桁 0、余り 30 ← ここで余りが既出。循環が確定します

図で確かめる

30/31 は、1 本のバーを 31 等分して 30 個ぶんを塗った大きさです。