31/19

なぜ 循環小数になるか

既約分数 31/19 の 分母 19 を素因数分解します。

分母 19 に 19 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。

覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。

筆算で小数に直す

既約分数の分子 31 を分母 19 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 18 桁）。

1. 1120 ÷ 19 → 商の桁 6、余り 6
2. 260 ÷ 19 → 商の桁 3、余り 3
3. 330 ÷ 19 → 商の桁 1、余り 11
4. 4110 ÷ 19 → 商の桁 5、余り 15
5. 5150 ÷ 19 → 商の桁 7、余り 17
6. 6170 ÷ 19 → 商の桁 8、余り 18
7. 7180 ÷ 19 → 商の桁 9、余り 9
8. 890 ÷ 19 → 商の桁 4、余り 14
9. 9140 ÷ 19 → 商の桁 7、余り 7
10. 1070 ÷ 19 → 商の桁 3、余り 13
11. 11130 ÷ 19 → 商の桁 6、余り 16
12. 12160 ÷ 19 → 商の桁 8、余り 8
13. 1380 ÷ 19 → 商の桁 4、余り 4
14. 1440 ÷ 19 → 商の桁 2、余り 2
15. 1520 ÷ 19 → 商の桁 1、余り 1
16. 1610 ÷ 19 → 商の桁 0、余り 10
17. 17100 ÷ 19 → 商の桁 5、余り 5
18. 1850 ÷ 19 → 商の桁 2、余り 12 ← ここで余りが既出。循環が確定します

図で確かめる

31/19 を帯分数にすると 1 と 12/19。完全充填のバーが 1 本と、19 等分のうち 12 個ぶんの部分バーで表せます。