39/41
循環小数
39/41 = 0.
真分数 既約分数
なぜ 循環小数になるか
既約分数 39/41 の 分母 41 を素因数分解します。
41 = 41
分母 41 に 41 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。
覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。
筆算で小数に直す
既約分数の分子 39 を分母 41 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 5 桁）。
- 1390 ÷ 41 → 商の桁 9、余り 21
- 2210 ÷ 41 → 商の桁 5、余り 5
- 350 ÷ 41 → 商の桁 1、余り 9
- 490 ÷ 41 → 商の桁 2、余り 8
- 580 ÷ 41 → 商の桁 1、余り 39 ← ここで余りが既出。循環が確定します
図で確かめる
39/41 は、1 本のバーを 41 等分して 39 個ぶんを塗った大きさです。
ここが面白いと感じます
循環節の長さは 5 桁。これは「10 を何回掛けると 41 で割った余りが元に戻るか」という問いで決まります。分母の素因数 41 が 10 と「どれくらい非なじみか」が、循環節の長さという形で見えるわけです。分母のわずかな違いで循環節が何桁にも伸びる——分数の中に潜む、数の個性の一端を感じる部分だと思います。