47/13

なぜ 循環小数になるか

既約分数 47/13 の 分母 13 を素因数分解します。

分母 13 に 13 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。

覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。

筆算で小数に直す

既約分数の分子 47 を分母 13 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 6 桁）。

1. 180 ÷ 13 → 商の桁 6、余り 2
2. 220 ÷ 13 → 商の桁 1、余り 7
3. 370 ÷ 13 → 商の桁 5、余り 5
4. 450 ÷ 13 → 商の桁 3、余り 11
5. 5110 ÷ 13 → 商の桁 8、余り 6
6. 660 ÷ 13 → 商の桁 4、余り 8 ← ここで余りが既出。循環が確定します

図で確かめる

47/13 を帯分数にすると 3 と 8/13。完全充填のバーが 3 本と、13 等分のうち 8 個ぶんの部分バーで表せます。