8/31

なぜ 循環小数になるか

既約分数 8/31 の 分母 31 を素因数分解します。

分母 31 に 31 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。

覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。

筆算で小数に直す

既約分数の分子 8 を分母 31 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 15 桁）。

1. 180 ÷ 31 → 商の桁 2、余り 18
2. 2180 ÷ 31 → 商の桁 5、余り 25
3. 3250 ÷ 31 → 商の桁 8、余り 2
4. 420 ÷ 31 → 商の桁 0、余り 20
5. 5200 ÷ 31 → 商の桁 6、余り 14
6. 6140 ÷ 31 → 商の桁 4、余り 16
7. 7160 ÷ 31 → 商の桁 5、余り 5
8. 850 ÷ 31 → 商の桁 1、余り 19
9. 9190 ÷ 31 → 商の桁 6、余り 4
10. 1040 ÷ 31 → 商の桁 1、余り 9
11. 1190 ÷ 31 → 商の桁 2、余り 28
12. 12280 ÷ 31 → 商の桁 9、余り 1
13. 1310 ÷ 31 → 商の桁 0、余り 10
14. 14100 ÷ 31 → 商の桁 3、余り 7
15. 1570 ÷ 31 → 商の桁 2、余り 8 ← ここで余りが既出。循環が確定します

図で確かめる

8/31 は、1 本のバーを 31 等分して 8 個ぶんを塗った大きさです。