65 と 105 の最大公約数・最小公倍数
最大公約数（GCD）
GCD(65, 105) = 5
最小公倍数（LCM）
LCM(65, 105) = 1,365
解き方
GCD：ユークリッド互除法
大きい数 105 を小さい数 65 で割り、余りが出たら「割る数」と「余り」の組で同じ計算をくり返します。余りが 0 になったときの「割る数」が最大公約数です。
- 1105 ÷ 65 = 1 余り 40
- 265 ÷ 40 = 1 余り 25
- 340 ÷ 25 = 1 余り 15
- 425 ÷ 15 = 1 余り 10
- 515 ÷ 10 = 1 余り 5
- 610 ÷ 5 = 2 余り 0
余りが 0 になったときの割る数 5 が GCD です。
LCM：GCD から求める公式
任意の 2 数 a, b について GCD × LCM = a × b が成り立ちます。したがって：
LCM = 65 × 105 ÷ 5 = 1,365
素因数のベン図
65 = 5 × 13、105 = 3 × 5 × 7。左右の円が重なる部分に共通の素因数が入り、それを全部掛けると GCD（5）になります。円全体を合わせた素因数を全部掛けると LCM（3 × 5 × 7 × 13）です。
基本情報
- 65 の素因数分解：5 × 13
- 105 の素因数分解：3 × 5 × 7
- GCD の素因数：5
- LCM の素因数：3 × 5 × 7 × 13
- 検算：GCD × LCM = 5 × 1,365 = 6,825 = 65 × 105
💡 ここが面白いと感じます
65 と 105 の GCD は 5、LCM は 1,365。素因数を並べて眺めると、共通する部分が GCD、全体を合わせた部分が LCM だとわかります。そして必ず GCD × LCM = 65 × 105 が成り立つ——これは素因数を「min と max で選ぶ」という裏の仕組みから自然に出てくる関係だと感じます。