17 個から 10 個を並べる方法 — 17P10
順列
17P10 = 70,572,902,400 通り
17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 70,572,902,400
計算式
1 番目に選べる候補は 17 通り。2 番目は使ったものを除いて 16 通り。… これを 10 回繰り返した積が答えになります。
17P10 = 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 70,572,902,400
階乗を使った形でも書けます。
17P10 = 17! / (17 - 10)! = 355,687,428,096,000 / 5,040 = 70,572,902,400
樹形図で確かめる
葉の総数が 70,572,902,400 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 70,572,902,400 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(17, 10) = 70,572,902,400 の中には、同じ「選んだ 10 個」に対する並べ替え 10! = 3,628,800 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、70,572,902,400 ÷ 10! = 19,448（= C(17, 10)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。