18 個から 12 個を並べる方法 — 18P12
順列
18P12 = 8,892,185,702,400 通り
18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 = 8,892,185,702,400
計算式
1 番目に選べる候補は 18 通り。2 番目は使ったものを除いて 17 通り。… これを 12 回繰り返した積が答えになります。
18P12 = 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 = 8,892,185,702,400
階乗を使った形でも書けます。
18P12 = 18! / (18 - 12)! = 6,402,373,705,728,000 / 720 = 8,892,185,702,400
樹形図で確かめる
葉の総数が 8,892,185,702,400 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 = 8,892,185,702,400 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(18, 12) = 8,892,185,702,400 の中には、同じ「選んだ 12 個」に対する並べ替え 12! = 479,001,600 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、8,892,185,702,400 ÷ 12! = 18,564（= C(18, 12)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。