18 個から 11 個を並べる方法 — 18P11
順列
18P11 = 1,270,312,243,200 通り
18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 1,270,312,243,200
計算式
1 番目に選べる候補は 18 通り。2 番目は使ったものを除いて 17 通り。… これを 11 回繰り返した積が答えになります。
18P11 = 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 1,270,312,243,200
階乗を使った形でも書けます。
18P11 = 18! / (18 - 11)! = 6,402,373,705,728,000 / 5,040 = 1,270,312,243,200
樹形図で確かめる
葉の総数が 1,270,312,243,200 個と多いので、最初の数段だけを概略で示しています。各段で残りの選択肢が 1 つずつ減るため、葉の数は 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 1,270,312,243,200 通りになります。
ここが面白いと感じます
P(18, 11) = 1,270,312,243,200 の中には、同じ「選んだ 11 個」に対する並べ替え 11! = 39,916,800 通りが含まれています。だから順序を無視して「選ぶ」だけに切り替えると、1,270,312,243,200 ÷ 11! = 31,824（= C(18, 11)）まで圧縮されます。順列と組合せが r! 倍だけ離れている、というこの関係が、二つの概念の違いをいちばん端的に表していると感じます。