10/13
循環小数
10/13 = 0.
真分数 既約分数
なぜ 循環小数になるか
既約分数 10/13 の 分母 13 を素因数分解します。
13 = 13
分母 13 に 13 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。
覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。
筆算で小数に直す
既約分数の分子 10 を分母 13 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 6 桁）。
- 1100 ÷ 13 → 商の桁 7、余り 9
- 290 ÷ 13 → 商の桁 6、余り 12
- 3120 ÷ 13 → 商の桁 9、余り 3
- 430 ÷ 13 → 商の桁 2、余り 4
- 540 ÷ 13 → 商の桁 3、余り 1
- 610 ÷ 13 → 商の桁 0、余り 10 ← ここで余りが既出。循環が確定します
図で確かめる
10/13 は、1 本のバーを 13 等分して 10 個ぶんを塗った大きさです。
同じ値の他の分数
10/13 は既約分数ですが、分子・分母を同じ数で掛けると同じ値の別の分数になります。このサイト内の範囲で見つかったものを並べます。
ここが面白いと感じます
循環節の長さは 6 桁。これは「10 を何回掛けると 13 で割った余りが元に戻るか」という問いで決まります。分母の素因数 13 が 10 と「どれくらい非なじみか」が、循環節の長さという形で見えるわけです。分母のわずかな違いで循環節が何桁にも伸びる——分数の中に潜む、数の個性の一端を感じる部分だと思います。