3/31

なぜ 循環小数になるか

既約分数 3/31 の 分母 31 を素因数分解します。

分母 31 に 31 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。

覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。

筆算で小数に直す

既約分数の分子 3 を分母 31 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 15 桁）。

1. 130 ÷ 31 → 商の桁 0、余り 30
2. 2300 ÷ 31 → 商の桁 9、余り 21
3. 3210 ÷ 31 → 商の桁 6、余り 24
4. 4240 ÷ 31 → 商の桁 7、余り 23
5. 5230 ÷ 31 → 商の桁 7、余り 13
6. 6130 ÷ 31 → 商の桁 4、余り 6
7. 760 ÷ 31 → 商の桁 1、余り 29
8. 8290 ÷ 31 → 商の桁 9、余り 11
9. 9110 ÷ 31 → 商の桁 3、余り 17
10. 10170 ÷ 31 → 商の桁 5、余り 15
11. 11150 ÷ 31 → 商の桁 4、余り 26
12. 12260 ÷ 31 → 商の桁 8、余り 12
13. 13120 ÷ 31 → 商の桁 3、余り 27
14. 14270 ÷ 31 → 商の桁 8、余り 22
15. 15220 ÷ 31 → 商の桁 7、余り 3 ← ここで余りが既出。循環が確定します

図で確かめる

3/31 は、1 本のバーを 31 等分して 3 個ぶんを塗った大きさです。