19 と 111 の最大公約数・最小公倍数

最大公約数（GCD）

GCD(19, 111) = 1

最小公倍数（LCM）

LCM(19, 111) = 2,109

解き方

GCD：ユークリッド互除法

大きい数 111 を小さい数 19 で割り、余りが出たら「割る数」と「余り」の組で同じ計算をくり返します。余りが 0 になったときの「割る数」が最大公約数です。

1111 ÷ 19 = 5 余り 16
219 ÷ 16 = 1 余り 3
316 ÷ 3 = 5 余り 1
43 ÷ 1 = 3 余り 0

余りが 0 になったときの割る数 1 が GCD です。

LCM：GCD から求める公式

任意の 2 数 a, b について GCD × LCM = a × b が成り立ちます。したがって：

LCM = 19 × 111 ÷ 1 = 2,109

素因数のベン図

19 = 19、111 = 3 × 37。左右の円が重なる部分に共通の素因数が入り、それを全部掛けると GCD（1）になります。円全体を合わせた素因数を全部掛けると LCM（3 × 19 × 37）です。

基本情報

19 の素因数分解：19
111 の素因数分解：3 × 37
GCD の素因数：1
LCM の素因数：3 × 19 × 37
検算：GCD × LCM = 1 × 2,109 = 2,109 = 19 × 111
性質：19 と 111 は互いに素（共通する素因数なし）

💡 ここが面白いと感じます

19 と 111 は共通する素因数を一つも持ちません。このような関係を互いに素（coprime）と呼びます。互いに素な 2 数では LCM が単純に 2 数の積（19 × 111 = 2,109）になるのが特徴で、分数の通分や倍数の性質を調べるときの土台になります。