40/31

なぜ 循環小数になるか

既約分数 40/31 の 分母 31 を素因数分解します。

分母 31 に 31 という 2 でも 5 でもない素因数があります。だから 循環小数になります。

覚えておくとよい判定則：既約分数の分母を素因数分解したとき、2 と 5 だけで構成されていれば 有限小数、それ以外の素数が混ざっていれば 循環小数。

筆算で小数に直す

既約分数の分子 40 を分母 31 で割ります。余りの後ろに 0 を補って、桁を下ろしながら割り進めます。同じ余りが再び現れた時点で循環節が確定します（循環小数、循環節の長さは 15 桁）。

1. 190 ÷ 31 → 商の桁 2、余り 28
2. 2280 ÷ 31 → 商の桁 9、余り 1
3. 310 ÷ 31 → 商の桁 0、余り 10
4. 4100 ÷ 31 → 商の桁 3、余り 7
5. 570 ÷ 31 → 商の桁 2、余り 8
6. 680 ÷ 31 → 商の桁 2、余り 18
7. 7180 ÷ 31 → 商の桁 5、余り 25
8. 8250 ÷ 31 → 商の桁 8、余り 2
9. 920 ÷ 31 → 商の桁 0、余り 20
10. 10200 ÷ 31 → 商の桁 6、余り 14
11. 11140 ÷ 31 → 商の桁 4、余り 16
12. 12160 ÷ 31 → 商の桁 5、余り 5
13. 1350 ÷ 31 → 商の桁 1、余り 19
14. 14190 ÷ 31 → 商の桁 6、余り 4
15. 1540 ÷ 31 → 商の桁 1、余り 9 ← ここで余りが既出。循環が確定します

図で確かめる

40/31 を帯分数にすると 1 と 9/31。完全充填のバーが 1 本と、31 等分のうち 9 個ぶんの部分バーで表せます。